행렬

• 용어 정리
  • 성분 = 항 = 원소 : 행렬 안에 배열된 구성원
  • 행 : 행렬의 가로줄
  • 열 : 행렬의 세로줄
  • \(m * n\) 행렬 : m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬
  • 주대각선 : 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선
  • 대각성분(diagonal components) : 주대각선에 걸치는 행과 열의 지표수가 같은 성분
    • 대각행렬 : 대각성분으로만 이루어진 행렬
  • 영행렬 : 모든 성분이 0인 행렬, 기호로 표기할 때에도 0으로 표기를 함(숫자 0이 아니고 0행렬을 의미함)
  • 전치행렬(transpose matrix) : \((a_{ij})\) 에 대하여 \((a_{ji})\), 행과 열을 뒤집어 준 것
  • 대칭행렬(symmetric matrix) : \(A = A^t\) 인 \(A\)
  • 정사각행렬(square matrix) : 행, 열의 개수가 같은 행렬
  • 단위행렬(identity matrix) : 모든 대각성분이 1이고, 그 외의 성분은 0인 정사각행렬

• 행렬의 연산

  \(m * n\) 행렬 \(A = (a_{ij})\) , \(B = (b_{ij})\) 에 대해

  • 덧셈과 뺄셈 : \(A \pm B = (a_{ij} \pm b_{ij})\)
  • 상수배 : 상수 c 에 대해 \(cA = (ca_{ij})\)

  \(m * n\) 행렬 \(A = (a_{ij})\) 와 \(n * r\) 행렬 \(B = (b_{jk})\) 에 대해

  • 곱셈 : \(AB = (c_{ik})\) : \(m * r\) 행렬

    단, \(c_{ik} = \sum\limits_{j = 1}^{n}{(a_{ij}b_{jk})}\)

    • 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립되지 않는다

연립일차방정식

• 행렬의 표현
  • 예를 들어, \(x + 2y = 5\) 와 \(2x + 3y = 8\) 은
    • \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 8 \end{pmatrix}\) 표현 –> 가우스 조던 소거법
    • \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}\) 표현 –> 역행렬 이용

• 가우스 조던 소거법

  • 다음 세 가지의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행 사다리꼴로 변환하여 해를 구한다.
    • 한 행을 상수배한다.
    • 한 행을 상수배하여 다른 행에 더한다.
    • 두 행을 맞바꾼다.
  • 기약 행 사다리꼴 : 1을 성분으로 둔 열의 나머지 성분은 모두 0으로 맞춰주는 것 ( 가우스 조던 소거법 )
  • 행 사다리꼴 : 1을 기준으로 아랫부분의 성분만 0으로 맞춰주는 것 ( 가우스 소거법 )

• 역행렬 이용

  • 연립일차방정식 \(AX = B\) 에서 \(A\)의 역행렬 \(A^{-1}\) 가 존재하면, \(X = A^{-1}B\) 이다.
  • 예를 들어, \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} <=> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}\)

• 사루스 법칙(전개) : 간단히 행렬식을 계산할 수 있는 방법

  • \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\) 의 행렬식은,

    1열과 2열을 3열의 오른쪽에 순차적으로 적고,

    

    위와 같이 붉은색 선의 성분들을 곱한뒤 더하고, 녹색 선의 성분들을 곱한뒤 빼주면 행렬식이 나온다.

행렬식

• 행렬식(determinant)이란? 정사각행렬 \(A\)를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수. det \(A = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\)

• 이때, \(A\)가

  1) 0 X 0 -> det ( ) = 0

  2) 1 X 1 -> det (\(a\)) = \(a\)

  3) 2 X 2 -> det \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\)

  4) 3 X 3 -> det \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)

  ​ \(= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}\)

  ​ \(= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)

  ​ \(= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}\)

  5) 4 X 4 -> det \(A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} - a_{14}M_{14}\)

• 역행렬

  • 행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다. 즉, 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬 \(A\)의 역행렬 \(A^{-1}\)은

    \[A^{-1} = \frac{1}{det A}\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots \\ C_{12} & C_{22} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}\]

    ​ (단, \(C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\))

    ex. \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

• 수반행렬(adjoint matrix) : 여인수 행렬의 전치행렬, 일반적으로 adj(A) 로 표기한다.

• 크래머 공식

  • 연립일차방정식 \(AX = B\)에서, \(A\)가 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬일 때, \(x_j = \frac{det A_j}{det A}\)
  • 단, \(j = 1, \cdots, n\) 이고 \(A_j\)는 \(A\)의 \(j\)번째 열을 \(B\)의 원소로 바꾼 행렬이다.

일부 문제 풀이(그냥 필자의 풀이이므로 두서없이 있더라도 양해를…)

1.1. \(2x + 4y - 3z = 1\) and \(x + y + 2z = 9\) and \(3x + 6y - 5z = 0\) 의 해를 구하라.

• 가우스 조던 소거법을 이용하여, \(\begin{pmatrix} 2 & 4 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \end{pmatrix}\) 에서,

  1행과 2행을 바꾸고, 1행을 2배하여 2행에서 빼고, 1행을 3배하여 3행에서 빼면,

  \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -17 \\ 0 & 3 & -11 & -27 \end{pmatrix}\]

  2행을 3배하여 3행에서 빼고, 2행을 1행에서 빼면, \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{11}{2} & \frac{35}{2} \\ 0 & 1 & \frac{-7}{2} & \frac{-17}{2} \\ 0 & 0 & \frac{-1}{2} & \frac{-3}{2} \end{pmatrix}\)

  3행을 -7배하여 2행에서 빼고, 3행을 11배하여 1행에서 빼고, 3행을 -2배하면 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)

  즉, \(x = 1, y = 2, z = 3\)

2.0. \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1}\) 임을 증명.

• \(B\)와 \(B^{-1}\)을 곱하면 단위행렬(\(I\))이 나오게 되므로 생략가능, 즉, \(AA^{-1}\)이 되고, 이 또한 단위행렬이 됨

  그러므로, \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\) 이므로 \((B^{-1}A^{-1})\) 은 \((AB)^{-1}\) 과 같음

3.2. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}\) 의 역행렬을 구하라.

• 우선, 행렬식을 구하자.(3행이 가장 계산하기 쉬우므로 기준행으로 한다)

  \[det \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix} = 1\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + 8\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 6 - 15 + 40 - 32 = -1\]

• 수반행렬(adj)을 구하자.(부호(+,-,+,-…)순서와 전치로 나타내야함을 주의하자.)

  • 1행 1열부터 3행 3열까지 순서대로 계산하되, 부호 순서에 유의하며 전치하여 행 순서가 아닌 열 순서로 계산한 값을 적어 나간다.

    \(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}\) 로, 1행1열 다음은 2행1열… 2행3열, 3행3열

    이런식으로 값을 적는다.

    \(\begin{pmatrix} 40 & -16 & -9 \\ -13 & 5 & 3 \\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}\) 에 미리 구해놓은 행렬식을 곱해주면,

    우리가 구하고자 하는 역행렬 값은, \(\begin{pmatrix} -40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix}\) 이다.

출처 : 이상엽Math - 1강, 행렬과 행렬식